離散一様分布
確率関数
$$P(X=x)=\frac{1}{n} (x=1,…,n)$$
累積分布関数
$$F(x)=\frac{x}{n}$$
平均と分散
$$\mathrm{E}[X]=\frac{n+1}{2}$$ $$\mathrm{Var}[X]=\frac{n^2-1}{12}$$
積率母関数
$$M_X(t)=\frac{e^t}{n}\frac{1-e^{tn}}{1-e^t}$$
ベルヌーイ分布
確率関数
$$P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x} (x=0,1)$$
平均と分散
$$\mathrm{E}[X]=p$$ $$\mathrm{Var}[X]=p(1-p)$$
確率母関数
$$G(s;p)=ps+1-p$$
二項分布
確率関数
$$P(X=x)={}_n C_{x}p^x(1-p)^{n-x} (x=0,1,…,n)$$
平均と分散
$$\mathrm{E}[X]=np$$ $$\mathrm{Var}[X]=np(1-p)$$
確率母関数
$$G(s;p)=(ps+1-p)^n$$
ポアソン分布
確率関数
$$P(X=x)=\frac{\lambda^{x} e^{-\lambda}}{x!} (x=0,1,…)$$
平均と分散
$$\mathrm{E}[X]=\lambda$$ $$\mathrm{Var}[X]=\lambda$$
確率母関数
$$G(s;p)=e^{\lambda(s-1)}$$
超幾何分布
確率関数
$$P(X=x)=\frac{ {}_M \tilde{C}_x × {}_{N-M} \tilde{C}_{n-x}}{ {}_N C_n } (x=0,1,…,n)$$
平均と分散
$$\mathrm{E}[X]=\frac{nM}{N}$$ $$\mathrm{Var} [X]=n \frac{M}{N} \left(1- \frac{M}{N}\right) \color{red}{\frac{\color{red}N-n}{N-1}}$$
赤字は「有限母集団修正」と呼ばれる。
幾何分布
確率関数
$$P(X=x)=p(1-p)^x (x=0,1,…)$$
平均と分散
$$\mathrm{E}[X]=\frac{1-p}{p}$$ $$\mathrm{Var}[X]=\frac{1-p}{p^2}$$
確率母関数
$$G(s;r,p)=\frac{p}{1-(1-p)s}$$
負の二項分布
確率関数
$$P(X=x)={}_{x+r-1} C_{x}p^r(1-p)^{x} (x=0,1,…)$$
平均と分散
$$\mathrm{E}[X]=r\frac{1-p}{p}$$ $$\mathrm{Var}[X]=r\frac{1-p}{p^2}$$
確率母関数
$$G(s;r,p)=\left(\frac{p}{1-(1-p)s}\right)^r$$
多項分布（三項分布）
確率関数
$$P(\mathbf{X}=\mathbf{x})=\frac{n!}{x_{1}! x_{2}! x_{3}!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}p_3^{x_3} (x \in D)$$
平均と分散
$$\mathrm{E}[X_i]=np_i$$ $$\mathrm{Var}[X_i]=np_i (1-p_i)$$ $$\mathrm{Cov}[X_i,X_j]=-np_i p_j$$ $$i,j \in {1,2,3}$$
確率母関数
$$G(s_1, s_2;n, p_1, p_2)=(p_1 s_1+p_2 s_2 + p_3)^n$$
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